Introdução: Métodos do espaço do estado para o design do controlador Existem várias maneiras de descrever um sistema de equações diferenciais lineares. A representação do espaço-estado foi introduzida na seção Introdução: Modelagem do sistema. Para um sistema SISO LTI, a forma espaço-estado é dada abaixo: onde x é um vetor por um vetor que representa o estado (comummente posição e velocidade variável em sistemas mecânicos), você é um escalar que representa a entrada (comumente uma força ou torque em Sistemas mecânicos), e y é um escalar que representa a saída. As matrizes A (n por n), B (n por 1) e C (1 por n) determinam as relações entre o estado e as variáveis de entrada e saída. Observe que existem n equações diferenciais de primeira ordem. A representação espacial do estado também pode ser usada para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), mas usaremos sistemas de entrada única e de saída única (SISO) nestes tutoriais. Para introduzir o método de design do espaço estadual, usaremos a bola suspensa magneticamente como exemplo. A corrente através das bobinas induz uma força magnética que pode equilibrar a força da gravidade e fazer com que a bola (que é feita de um material magnético) seja suspensa no ar. A modelagem deste sistema foi estabelecida em muitos livros de texto de controle (incluindo sistemas de controle automático por B. C. Kuo, a sétima edição). As equações para o sistema são dadas por: onde h é a posição vertical da bola, i é a corrente através do eletroímã, V é a tensão aplicada, M é a massa da bola, g é gravidade, L é a indutância, R é a resistência, e K é um coeficiente que determina a força magnética exercida sobre a bola. Por simplicidade, escolheremos valores M 0,05 Kg. K 0.0001. L 0,01 H. R 1 Ohm. G 9.81 msec2. O sistema está em equilíbrio (a bola é suspensa no ar) sempre que h K i2Mg (em que ponto dhdt 0). Nós linearizamos as equações sobre o ponto h 0,01 m (onde a corrente nominal é de cerca de 7 amperes) e obtem as equações do espaço de estados: é o conjunto de variáveis de estado para o sistema (um vetor 3x1), u é a tensão de entrada (delta V ), E y (a saída), é delta h. Digite os matricios do sistema em um arquivo m. Uma das primeiras coisas que queremos fazer é analisar se o sistema de circuito aberto (sem qualquer controle) é estável. Conforme discutido na seção Introdução: Análise do Sistema, os autovalores da matriz do sistema, A, (equivalente aos pólos da ffnção de transferência) determinam a estabilidade. Os autovalores da matriz A são os valores de s onde det (sI - A) 0. Um dos pólos está no plano da metade direita (ou seja, tem uma parte real positiva, o que significa que o sistema é instável no circuito aberto. Para verificar o que acontece com este sistema instável quando há uma condição inicial diferente de zero, adicione o seguinte Linhas para o seu arquivo m e novamente: parece que a distância entre a bola e o eletroímã irá para o infinito, mas provavelmente a bola atinge a mesa ou o chão primeiro (e também provavelmente fica fora do alcance onde nossa linearização é Válido) Controllability and Observability Um sistema é controlável se existir uma entrada de controle, u (t), que transfere qualquer estado do sistema para zero em tempo finito. Pode ser mostrado que um sistema LTI é controlável se e somente se for A matriz de controlabilidade, CO, tem classificação completa (ou seja, se rank (CO) n onde n é o número de estados). O ranking da matriz de controle de um modelo LTI pode ser determinado em MATLAB usando o ranking de comandos (ctrb (A, B )) Ou rank (ctrb (sys)). Todas as variáveis de estado de um sistema podem Não seja diretamente mensurável, por exemplo, se o componente estiver em um local inacessível. Nesses casos, é necessário estimar os valores das variáveis de estado interno desconhecidas usando apenas as saídas do sistema disponíveis. Um sistema é observável se o estado inicial, x (t0), pode ser determinado a partir da saída do sistema, y (t), durante algum tempo finito t0 lt t lt tf. Para os sistemas LTI, o sistema é observável se e somente se a matriz de observabilidade, OB, tiver uma classificação completa (ou seja, se rank (OB) n onde n é o número de estados). A observabilidade de um modelo LTI pode ser determinada em MATLAB usando o comando rank (obsv (A, C)) ou rank (obsv (sys)). Controllability e observabilidade são conceitos duplos. Um sistema (A, B) é controlável se e somente se um sistema (A, C, B, D) for observável. Este fato será útil ao projetar um observador, como veremos abaixo. Controle de projeto usando Pole Placement Permite criar um controlador para este sistema usando a colocação de pólo. O esquema de um sistema de feedback de estado completo é mostrado abaixo. Por estado completo, queremos dizer que todas as variáveis de estado são conhecidas pelo controlador em todos os momentos. Por exemplo, neste sistema, precisamos de um sensor que mede a posição da bola, outra velocidade de medição e uma terceira corrente de medição no eletroímã. Por simplicidade, vamos assumir que a referência é zero, R0. A entrada é então. As equações de espaço de estado para o sistema de feedback de circuito fechado são, portanto, a estabilidade e o desempenho do domínio do tempo do sistema de feedback de circuito fechado são determinados principalmente pela localização dos pólos (autovalores) da matriz (A-BK ). Uma vez que as matrizes A e BK são ambas de 3 por 3 matrizes, haverá 3 pólos para o sistema. Ao escolher uma matriz K apropriada, podemos colocar esses pólos em loop fechado em qualquer lugar que desejamos. Podemos usar o local da função MATLAB para encontrar a matriz de controle, K, que dará os pólos desejados. Antes de tentar este método, temos que decidir onde queremos que os pólos em loop fechado sejam. Suponha que os critérios para o controlador foram tempo de estabilização lt 0,5 seg e ultrapassagem lt 5, então podemos tentar colocar os dois pólos dominantes em -10-10i (a zeta 0,7 ou 45 graus com sigma 10 gt 4,62). O terceiro pólo que podemos colocar em -50 para começar, e podemos alterá-lo mais tarde, dependendo do comportamento do loop fechado. Remova o comando lsim do seu arquivo m e tudo depois dele, então adicione as seguintes linhas ao seu arquivo m. O excesso é muito grande (também há zeros na função de transferência que podem aumentar a sobreposição, você não vê os zeros na formulação do espaço de estados). Tente colocar os pólos mais à esquerda para ver se a resposta transitória melhora (isso também deve tornar a resposta mais rápida). Desta vez, o excesso é menor. Consulte seu livro para obter mais sugestões sobre como escolher os pólos em loop fechado desejados. Compare o esforço de controle necessário (K) em ambos os casos. Em geral, quanto mais você mover os pólos, mais esforço de controle é necessário. Nota: Se você quiser colocar dois ou mais pólos na mesma posição, o lugar não funcionará. Você pode usar uma função chamada acker que funciona de forma semelhante ao local: K acker (A, B, p1 p2 p3). Apresentando a Entrada de Referência Agora, iremos assumir o sistema de controle conforme definido acima e aplicar uma entrada de passo (nós escolhemos um valor pequeno) Para o passo, então permanecemos na região onde a nossa linearização é válida). Substitua t, u e lsim no seu arquivo m com o seguinte: O sistema não rastreia bem o passo, não só a magnitude não é um, mas é negativo em vez de positivo. Recupere o esquema acima, não comparamos o Saída para a referência em vez disso, nós medimos todos os estados, multiplique pelo vetor de ganhos K, e depois resta esse resultado da referência. Não há motivos para esperar que Kx seja igual à saída desejada. Para eliminar esse problema, podemos escalar a entrada de referência para torná-la igual à Kx steadystate. Esse fator de escala é freqüentemente chamado de Nbar, ele é introduzido como mostrado no esquema a seguir: podemos obter Nbar do MATLAB usando a função rscale (coloque a seguinte linha de código após K). Observe que esta função não é padrão no MATLAB. Você precisará baixá-lo aqui, rscale. m. E guarde-o no seu espaço de trabalho atual. Agora, se queremos encontrar a resposta do sistema sob feedback do estado com esta introdução da referência, simplesmente observamos o fato de que a entrada é multiplicada por esse novo fator, Nbar. E agora um passo pode ser rastreado razoavelmente bem. Design de observação Quando não podemos medir todos os estados x (muitas vezes o caso na prática), podemos construir um observador para estimá-los, enquanto mede apenas a saída y C x. Para o exemplo de bola magnética, adicionaremos três novos estados estimados ao sistema. O esquema é o seguinte: o observador é basicamente uma cópia da planta que tem a mesma entrada e quase a mesma equação diferencial. Um termo extra compara a saída real medida y com a saída estimada e isso causará que os estados estimados se aproximem dos valores dos estados reais x. A dinâmica de erro do observador é dada pelos pólos de (A-LC). Primeiro, precisamos escolher o gancho do observador L. Como queremos que a dinâmica do observador seja muito mais rápida do que o próprio sistema, precisamos colocar os pólos pelo menos cinco vezes mais à esquerda do que os pólos dominantes do sistema. Se quisermos usar o lugar. Precisamos colocar os três pólos de observação em diferentes locais. Devido à dualidade entre controle e observabilidade, podemos usar a mesma técnica usada para encontrar a matriz de controle, mas substituindo a matriz B pela matriz C e tomando as transposes de cada matriz. As equações no diagrama de bloco acima são dadas para o chapéu. É convencional escrever as equações combinadas para o observador do sistema mais usando o estado original x mais o estado de erro: e x - hat. Nós usamos como feedback de estado u - K hat. Depois de um pouco de álgebra (consulte o seu livro para mais detalhes), chegamos ao equações de estado e erro combinadas com o feedback de estado completo e um observador. Para ver como a resposta procura uma condição inicial diferente de zero sem entrada de referência, adicione as seguintes linhas ao seu arquivo m. Normalmente, assumimos que o observador começa com zero condição inicial, o chapéu 0. Isso nos dá que a condição inicial para o erro seja igual à condição inicial do estado. As respostas de todos os estados são traçadas abaixo. Lembre-se que lsim nos dá x e e para obter o chapéu. Precisamos calcular x-e. Podemos ver que o observador estima os estados rapidamente e rastreia os estados bem no estado estacionário. Publicado com MATLABreg 7.14 Representação espacial estadual de sistemas físicos lineares Introdução À medida que os sistemas se tornam mais complexos, representá-los com equações diferenciais ou funções de transferência torna-se complicado. Isso é ainda mais verdadeiro se o sistema tiver múltiplas entradas e saídas. Este documento apresenta o método do espaço estadual que alivia em grande parte este problema. A representação espacial do estado de um sistema substitui uma equação diferencial da n-ésima ordem por uma única equação diferencial da matriz de primeira ordem. A representação espacial do estado de um sistema é dada por duas equações: Nota: Os caracteres do rosto em negrito denotam um vetor ou matriz. A variável x é mais comumente usada nos livros didáticos e outras referências do que a variável q quando as variáveis de estado são discutidas. A variável q será usada aqui, pois muitas vezes usamos x para representar a posição. A primeira equação é chamada de equação de estado, a segunda equação é chamada de equação de saída. Para um sistema de ordem n (ou seja, pode ser representado por uma equação diferencial da n-ésima ordem) com entradas r e m, o tamanho de cada uma das matrizes é o seguinte: q é nx 1 (n linhas por 1 coluna) q é Chamado de vetor de estado, é uma função do tempo A é nxn A é a matriz de estado, uma constante B é nxr B é a matriz de entrada, uma constante u é rx 1 u é a entrada, uma função do tempo C é mxn C É a matriz de saída, uma constante D é mxr D é a matriz de transição direta (ou passagem), uma constante y é mx 1 y é a saída, uma função do tempo. Observe várias características: a equação do estado possui uma única derivada de primeira ordem de O vetor de estado à esquerda e o vetor de estado, q (t) e a entrada u (t) à direita. Não há derivativos no lado direito. A equação de saída tem a saída à esquerda e o vetor de estado, q (t) e a entrada u (t) à direita. Não há derivativos no lado direito. Para sistemas com uma única entrada e saída única (ou seja, a maioria dos sistemas que consideramos), essas variáveis se tornam (com r 1 e m 1): as vantagens desta representação incluem: a notação é muito compacta. Mesmo grandes sistemas podem ser representados por duas equações simples. Como todos os sistemas são representados pela mesma notação, é muito fácil desenvolver técnicas gerais para resolver esses sistemas. Os computadores simulam facilmente equações de primeira ordem. Um exemplo simples Considere um sistema de 4ª ordem representado por uma única equação diferencial de 4ª ordem com entrada x e saída y. Podemos definir 4 novas variáveis, q1 a q4. Agora podemos reescrever a equação diferencial da 4ª ordem como 4 equações de primeira ordem. Esta é compactamente escrita em formato de espaço de estado, pois para este problema era fácil encontrar uma representação de espaço de estado. Em muitos casos (por exemplo, se houver derivados no lado direito da equação diferencial), este problema pode ser muito mais difícil. Tais casos são explicados na discussão de transformações entre representações do sistema. A representação espacial do estado não é única Caso 1: Representação do espaço do estado alternativo Outro ponto importante é que a representação do espaço do estado não é única. Como um exemplo simples, podemos simplesmente reordenar as variáveis do exemplo acima (as novas variáveis de estado são rotuladas como q novas). Isso resulta em uma nova representação espacial do estado. Caso 2: Representações Alternativas do Espaço Estadual No caso anterior, o exame cuidadoso do sistema espacial original e modificado revela que eles representam o mesmo sistema. No entanto, podemos criar variáveis de estado totalmente novas ao formar uma combinação linear das variáveis de estado originais nas quais essa igualdade não é óbvia. Considere a variável de estado q nova definida da seguinte maneira: Neste caso, as novas variáveis de espaço de estado são dadas (os detalhes de como essas matrizes são determinadas não são importantes para esta discussão. Eles são fornecidos aqui se você estiver interessado): Este novo estado O sistema espacial é bastante diferente do original e não é de todo óbvio que eles representam o mesmo sistema. (Pode-se mostrar que os sistemas são idênticos ao transformar a representação do espaço do estado em uma função de transferência. As técnicas para fazê-lo são discutidas em outros lugares.) Conceito chave: Definição de uma representação espacial do estado Um sistema físico linear de ordem pode ser representado usando um Abordagem de espaço de estado como uma única equação diferencial de matriz de primeira ordem: a primeira equação é chamada de equação de estado e tem uma derivada de primeira ordem da (s) variável (s) de estado à esquerda e a (s) variável (s) de estado e entrada (s) , Multiplicado por matrizes, à direita. A segunda equação é chamada de equação de saída e tem a saída à esquerda e as variáveis de estado e entrada (s), multiplicadas por matrizes, à direita. Nenhum outro termo é permitido na equação. Nestas equações: Para uma única entrada, sistema de saída única (o caso que mais nos interessa): A representação do espaço de estados não é exclusiva (o número infinito) de sistemas espaciais de estados pode ser usado para representar qualquer sistema físico linear. Desenvolver um modelo de espaço de estado a partir de um diagrama de sistema (Tradução mecânica) Outra maneira poderosa de desenvolver um modelo de espaço de estado é diretamente dos diagramas de corpo livres. Se você escolher como suas variáveis de estado as quantidades que determinam a energia no sistema, um sistema espacial estadual é frequentemente fácil de derivar. Por exemplo, em um sistema mecânico, você escolheria a extensão das molas (energia potencial, frac12kxsup2) e a velocidade das massas (energia cinética, frac12mvsup2) para sistemas elétricos, escolha a tensão entre condensadores, frac12Cesup2 (evoltagem)) e a corrente através de indutores (frac12Lisup2) . Isto é melhor ilustrado por vários exemplos, dois rotativos e um elétrico. Exemplo: Derivação direta do modelo espacial estadual (Translação mecânica) Derive um modelo de espaço de estado para o sistema mostrado. A entrada é f a e a saída é y. Podemos escrever equações de corpo grátis para o sistema em x e em y. Existem três elementos de armazenamento de energia, então esperamos três equações de estados. A energia é armazenada como energia potencial na primavera (frac12K r 952 1 sup2) e energia cinética nos dois volantes (frac12J 1 945 1 sup2, frac12J 2 945 2 sup2). Nossas equações variáveis de estado tornam-se: agora queremos equações para seus derivativos. As equações de movimento dos diagramas de corpo livres produzem com a entrada u 964 a. E a saída y952 1. Modelo de espaço de desenvolvimento do estado a partir do diagrama do sistema (Elétrico) Para desenvolver um sistema espacial estadual para um sistema elétrico, eles escolhem a tensão entre capacitores e a corrente através de indutores como variáveis de estado. Lembre-se de que, se pudermos escrever equações para a tensão através de um indutor, torna-se uma equação de estado quando dividimos pela indutância (ou seja, se possuímos uma equação para e indutor e dividido por L, torna-se uma equação para o indutor d que É uma das nossas variáveis de estado). Da mesma forma, se pudermos escrever uma equação para a corrente através do capacitor e dividir pela capacitância, ela se torna uma equação de estado para o capacitor e. Isto é melhor ilustrado por um exemplo. Exemplo: Derivação direta do modelo de espaço do estado (elétrico) Derive um modelo de espaço de estado para o sistema mostrado. A entrada é i a e a saída é e 2. Existem três elementos de armazenamento de energia, então esperamos três equações de estado. Tente escolher eu 1. I 2 e e 1 como variáveis de estado. Agora queremos equações para os seus derivados. A tensão em todo o indutor L 2 é e 1 (que é uma das nossas variáveis de estado), então nossa primeira equação de variável de estado é Se somamos as correntes para o nó marcado n1, nós obtemos. Esta equação tem nossa entrada (ia) e duas variáveis de estado ( IL2 e iL1) e a corrente através do capacitor. Então, a partir disso, podemos obter nossa segunda equação de estado. Nossa terceira e final, equação de estado, obtemos escrevendo uma equação para a tensão em L 1 (que é e 2) em termos de nossas outras variáveis de estado. Também precisamos de uma equação de saída: Portanto, a nossa representação espacial do estado se torna Esta técnica nem sempre produz facilmente um conjunto de equações estatais. Em alguns casos, é mais fácil desenvolver um modelo de função de transferência e convertê-lo em um modelo de espaço de estado. As funções de transferência são discutidas em outro lugar. Problemas ao desenvolver um modelo de espaço de estado a partir de um diagrama de sistema Existem vários casos em que não é tão simples desenvolver um modelo de espaço de estado a partir de um diagrama de sistema. Alguns destes são discutidos aqui. Solução de Problemas do Espaço Estadual A representação espacial estadual de um sistema é um método comum e extremamente poderoso de representar um sistema matematicamente. Esta página apenas discute como desenvolver a representação do espaço estadual, a solução dos problemas do espaço estadual é discutida em outro lugar. Transformações para outras formas Como o espaço de estados é equivalente às outras representações, deve haver uma maneira de se transformar de uma representação para outra. Estes métodos são discutidos aqui. Cópia Copyright 2005 a 2015 Erik Cheever Esta página pode ser usada gratuitamente para fins educacionais.
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